Fundamentos de probabilidad
Un proceso es un experimento aleatorio si:
Ejemplo: lanzamiento de un dado
El espacio muestral, denotado por \(\Omega\), es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los elementos son los posibles resultados \(\omega\), de tal forma que:
\[ \Omega = \{\omega : \omega \text{ es un resultado posible del experimento}\} \]
1️⃣ Espacios muestrales discretos
Conjunto de resultados finito o infinito numerable.
\[ \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots \} \]
2️⃣ Espacios muestrales continuos
Conjunto de resultados infinito no numerable, generalmente asociado a intervalos de números reales.
\[ \Omega \subseteq \mathbb{R} \]
\[ \Omega_1 = \{1,2,3,4,5,6\} \]
Tipo: Finito (discreto)
\[ \Omega_2 = \{0,1,2,3,\dots\} \]
Tipo: Infinito numerable (discreto)
\[ \Omega_3 = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} \]
Tipo: Infinito no numerable (continuo)
Sea \(\Omega\) el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una σ-álgebra (sigma-álgebra) sobre \(\Omega\), denotada por \(\mathcal{F}\), es una colección de subconjuntos de \(\Omega\) que satisface:
Como consecuencia, también se cumple que:
\(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}\)
Los elementos de la σ-álgebra \(\mathcal{F}\) se denominan eventos.
Así, un evento es un subconjunto del espacio muestral:
\[A \subseteq \Omega, \quad A \in \mathcal{F}\]
\[\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\]
Evento: “obtener un número par” entonces \(A = \{2,4,6\}\)
Aquí, \(A \in \mathcal{F}\) es un evento.
La probabilidad de un evento puede interpretarse como la frecuencia relativa de ocurrencia en un gran número de repeticiones del experimento.
Si un experimento se repite \(n\) veces y el evento \(A\) ocurre \(n_A\) veces, entonces:
\[fr(A) = \frac{n_A}{n}\]
En el caso clásico con resultados equiprobables, se define:
\[P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}\]
Un espacio de probabilidad es la tripleta: \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)
donde:
La función \(P : \mathcal{F} \to [0,1]\) satisface:
\[P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\] Por tanto,
\[0 \le P(A) \le 1\]
Sea \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espacio de probabilidad y \(A, B \in \mathcal{F}\).
Si \(A \cap B = \varnothing\) (mutuamente excluyentes):
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Sea:
Probabilidad de interés: \(P(B)\)
Proporción de pacientes con resultado positivo.
Si en un ensayo clínico:
\[P(\text{mejoría}) = \frac{80}{100} = 0.8\]
Sea:
Probabilidad conjunta: \(P(A \cap B)\)
Pacientes que fuman y tienen enfermedad.
Si la probabilidad de complicación quirúrgica es: \(P(C) = 0.1\)
Entonces la probabilidad de que no se tengan complicaciones es: \[P(C^c) = 1 - P(C) = 0.9\]
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