Estadística Fundamental para Ciencias de la Salud

Fundamentos de probabilidad

Giovany Babativa-Márquez, PhD
jgbabativam@unal.edu.co

Proceso de analítica

Wickham, H. y otros (2023)

TEORÍA BÁSICA DE PROBABILIDAD

Experimento aleatorio

Un proceso es un experimento aleatorio si:

  • Puede repetirse bajo las mismas condiciones.
  • Tiene varios resultados posibles.
  • No es posible predecir con certeza el resultado antes de realizarlo.
  • Permite identificar el conjunto de todos los resultados posibles (espacio muestral).

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Espacio Muestral

Definición


El espacio muestral, denotado por \(\Omega\), es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los elementos son los posibles resultados \(\omega\), de tal forma que:

\[ \Omega = \{\omega : \omega \text{ es un resultado posible del experimento}\} \]

Espacio Muestral

Clasificación según el tipo de resultados

1️⃣ Espacios muestrales discretos

Conjunto de resultados finito o infinito numerable.

\[ \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots \} \]

2️⃣ Espacios muestrales continuos

Conjunto de resultados infinito no numerable, generalmente asociado a intervalos de números reales.

\[ \Omega \subseteq \mathbb{R} \]

Ejemplos

🎲 Experimento 1: Lanzar un dado



\[ \Omega_1 = \{1,2,3,4,5,6\} \]

Tipo: Finito (discreto)

Ejemplos

🚗 Experimento 2: Conteo de accidentes en carreteras en un periodo

\[ \Omega_2 = \{0,1,2,3,\dots\} \]

Tipo: Infinito numerable (discreto)


📏 Experimento 3: Medición de estaturas de personas

\[ \Omega_3 = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} \]

Tipo: Infinito no numerable (continuo)

σ-álgebra y eventos

Definición

Sea \(\Omega\) el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una σ-álgebra (sigma-álgebra) sobre \(\Omega\), denotada por \(\mathcal{F}\), es una colección de subconjuntos de \(\Omega\) que satisface:

  1. \(\Omega \in \mathcal{F}\)
  2. Si \(A \in \mathcal{F}\), entonces su complemento \(A^c \in \mathcal{F}\)
  3. Si \(A_1, A_2, A_3, \dots \in \mathcal{F}\), entonces \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}\)

Como consecuencia, también se cumple que:

\(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}\)

Eventos

Los elementos de la σ-álgebra \(\mathcal{F}\) se denominan eventos.

Así, un evento es un subconjunto del espacio muestral:

\[A \subseteq \Omega, \quad A \in \mathcal{F}\]

Ejemplo: Lanzamiento de un dado

\[\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\]

Evento: “obtener un número par” entonces \(A = \{2,4,6\}\)

Aquí, \(A \in \mathcal{F}\) es un evento.

Probabilidad como frecuencia relativa

La probabilidad de un evento puede interpretarse como la frecuencia relativa de ocurrencia en un gran número de repeticiones del experimento.

Si un experimento se repite \(n\) veces y el evento \(A\) ocurre \(n_A\) veces, entonces:

\[fr(A) = \frac{n_A}{n}\]

En el caso clásico con resultados equiprobables, se define:

\[P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}\]

Espacio de Probabilidad

Un espacio de probabilidad es la tripleta: \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)

donde:

  • \(\Omega\): espacio muestral
  • \(\mathcal{F}\): σ-álgebra de eventos
  • \(P\): medida de probabilidad

Axiomas de la medida de probabilidad

La función \(P : \mathcal{F} \to [0,1]\) satisface:

  • \(P(A) \ge 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}\)
  • \(P(\Omega) = 1\)
  • Si \(A_1, A_2, A_3, \dots \in \mathcal{F}\) son eventos mutuamente excluyentes:

\[P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\] Por tanto,

\[0 \le P(A) \le 1\]

Propiedades de un espacio de probabilidad

Sea \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espacio de probabilidad y \(A, B \in \mathcal{F}\).

  • \(P(\varnothing) = 0\)
  • \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
  • Si \(A \subseteq B\), entonces: \(P(A) \le P(B)\)
  • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Si \(A \cap B = \varnothing\) (mutuamente excluyentes):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Ejemplos

🧪 Ejemplo 1: Resultado de una prueba diagnóstica

Sea:

  • \(A\): paciente tiene la enfermedad
  • \(B\): prueba positiva

Probabilidad de interés: \(P(B)\)

Proporción de pacientes con resultado positivo.

💊 Ejemplo 2: Respuesta a tratamiento

Si en un ensayo clínico:

  • 80 de 100 pacientes mejoran

\[P(\text{mejoría}) = \frac{80}{100} = 0.8\]

❤️ Ejemplo 3: Factores de riesgo

Sea:

  • \(A\): paciente fuma
  • \(B\): paciente tiene enfermedad cardiovascular

Probabilidad conjunta: \(P(A \cap B)\)


Pacientes que fuman y tienen enfermedad.

🏥 Ejemplo 4: Regla del complemento


Si la probabilidad de complicación quirúrgica es: \(P(C) = 0.1\)



Entonces la probabilidad de que no se tengan complicaciones es: \[P(C^c) = 1 - P(C) = 0.9\]